怎么样手画对数坐标（坐标变换的本质，对数坐标的变换）

 今天突然在想一个问题，当我们用对数坐标的时候，电脑干了啥？

首先举个例子，x 属于0.1到10， y = e^(x)。 当我们用普通坐标作图的时候，我们能得到左边的图，把y坐标设置成对数坐标，我们能得到右边的图。左边的图是一条曲线，而右边的图则是一条直线。

那么在这个过程中电脑做了什么呢？可以回想一下当我们手工作图的时候我们在干什么。

手工作图的时候，第一步，我们需要在纸上画一个直角坐标系，然后定一个点，把这个点指定为范围的最大值（比如100）； 第二步均分为某个等分（比如两等分），第三步再某种程度的等分。第四步把某个y值，比如15画到纸上y=15的位置。

这个过程的本质其实也是在做坐标变换，即我们把一组最大值< 100 的数，变换到我们的这个坐标轴，比如（y轴长为5 cm）的区域。那么实际的点 y = 15，对应的坐标轴上的点的距离就是 15/100*5 cm = 0.75 cm。那么我们其实就是把这个y = 15的点，画到我们纸上距离y = 0 的直线（也就是x轴）0.75 cm 的位置。

那么我们做对数坐标的时候应该怎么做呢？首先我们只考虑对y轴做对数坐标的情况，对x轴做对数坐标的情况是一样的。

第一步还是画一个直角坐标，定一个点作为范围的最大值，还是假设为100。那么第二步做什么？其实还是等分，但是这个中点，再也不是50 (100/2)，而是别的值。为了知道这个值，我们需要知道需要作图的数的范围，比如0.1 - 100，或者 0.01 - 100。 如果是0.01-100，那么中点的代表1 （ 计算 10^(log10(100/0.01) * 0.5)*0.01， log10代表以10为底的对数)， 此时零点不再是零点，而是y = 0.01。 而当再对上半部分做均分时，中点代表（10^(log10(100/1)*0.5)*1 = 10。通用的公式是 (10^(log10(ymax/ymin)*0.5)*ymim， 简化公式是ymax^t*ymin^(1-t)

再想一下我们这时候是在干什么？我们把一个坐标轴上到零点的距离为 t 个单位的点，变换为另一个常数，变换公式为 y = 10^(log(ymax/ymin)*t)*ymin。那么反过来，我们要把一个范围在0.01- 100的数，画到一个的坐标上，那么原来为 y的值，现在坐标上的位置就是 t = log10(y/ymin) /log10(ymax/ymin) 。

这就完成了从一次坐标变换。下图左边是对数坐标的作图，右边则是变换过坐标的数用正常坐标作图。